確率は、中学入試・高校受入試・大学入試のすべてで出題されます。さまざまな難度の問題を比較的容易に作成でき、数学的思考力を試せることが一因です。入試問題の難易度は概ね次の通りです。
(公立中学の定期試験＜)公立高校＜中堅私立中学＜難関私立中学＝中堅私立大学＜難関私立大学(≒難関私立中学)＜難関国立大学
※ 難関私立中学の定期試験の問題は、難関私立大学入試問題のレベルに到達しています。
公立高校の確率の入試問題例
＜＜解法のポイント＞＞
解法はワンパターンで簡単で、お決まりの６Ｘ６のマスを作り、
１．大(a)・小(b)のさいころの和が４、７、１０になるものを数え上げればよい。
※和が１になるものは存在しないので、対象外。
２．大(a)・小(b)のさいころの和が５、８、１１になるものの中で、aがbの約数にならないものを数え上げればよい。
※和が２になるものはa=1がb=1の約数になるので対象外。
私立中学(女子校)の場合の数の入試問題例
※ 合格率80％偏差値60台(サピックス)の中学入試問題です。
※ 男子校の算数はさらに難度が上がります。
中学入試では柔軟な思考力が要求されますので、公立高校入試の単純な思考で解ける問題しか解いていないと、ほとんど解けません。
＜＜解法のポイント＞＞
時計回りを正とし、反時計回りを負として、整理すると解き易くなります。
勝ちを〇、あいこを△、負けを✖と記号化すればさらに思考が楽になります。
花子 勝ち あいこ 負け ＋２ ＋１ －１
豊子 負け あいこ 勝ち ＋１ －１ －２
１．３回で花子がー１になる組み合わせは△✖✖であるから、豊子は△〇〇＝－１－２－２＝－５
２．”花子ー豊子”を求めて、差が４になるものを求めればよい。
花子ー豊子は、＋１ ＋２ ＋１となり、３回で＋４となるのは△一回とわかる。
３．差が４となる組み合わせを求めればよい。花子に着目すると△〇〇＝＋５、△〇✖＝＋２、△✖✖＝－１の３通り。
私立大学(理系)の確率の入試問題例
※ 合格率80％以上偏差値60（2019年度6月実施の第１回駿台全国模試でＡ判定）
※ 私立最難関大学の最難関学部の問題（医学部を除く）
※ 私立大学の入試問題は難関大学でも、具体的で解き易い傾向があります。
＜＜解法のポイント＞＞
３ｎ回以内にＡが勝つのは、次のｎ通りである。
２＋３✕０回目 ＡＡ
２＋３✕１回目 ＡＣＢＡＡ
２＋３✕２回目 ＡＣＢＡＣＢＡＡ
・・・
２＋３✕(ｎ－１)回目 ＡＣＢＡＣＢ・・・ＡＣＢＡＡ
よって、求める確率は初項が１／４、公比が１／８の等比数列の和である。
難関私立中学(２年３学期～３年１学期)の確率の定期試験の問題例(改)
※ この問題は、私立の難関大学入試問題に匹敵するレベルに到達しています。
※ 合格率80%偏差値60超え(サピックス)の中学の定期試験レベルの問題で、中学生でこの問題を自力で解けるなら東大合格の素質があります。
中学受験で難関中学入学を目指すご家庭は、合格しても、大学に合格するまで気の休まるときは無いことを覚悟しておくことです。さらに、大学に合格しても東大クラスだと大学でも勉強漬けの日々が待っています。
このレベルの中学生を指導できる塾は、極めて少なく、(当塾は例外ですが)一般的に高額であることも覚悟しておくことです。
最近、大手塾に通っていた私立(合格率80%偏差値50台：サピックス)の中学生が、その塾では手にあまり指導できないことに(漸く)気づき、当塾に入塾しましたが、このレベルでも高校生になると、満足な指導を受けられる塾は、さらに少なくなります。
※ 中学受験の合格率80%偏差値(サピックス)
開成(67)、聖光学院(64)、栄光学園(62)、慶応(58)、浅野(57)、逗子開成(51)、鎌倉学園(50)、フェリス女学院(56)、湘南白百合(50未満)
※ 高校受験の合格率80%偏差値(サピックス)
日比谷(58)、横浜翠嵐(55)、湘南(54)、柏陽(48)、厚木(44)
＜＜解法のポイント＞＞
１．出る目が１以外となる組み合わせは、次の３通り。
２が３回（２、２、２）、２が一回出てかつ３が１回（２、３）４が１回（４）。
これらの場合の数は、それぞれ、ｎＣ３、ｎＰ２、ｎＰ１通りである。
さいころｎ個を同時に投げるときの一回当たりの確率はそれぞれ(1/6)^nであるから、
求める確率は(ｎＣ３＋ｎＰ２＋ｎＰ１)✕(1/6)^nである。
２．３種類の解法を紹介します。
解法１．８回目で初めて０になるのは、４回目･６回目が共に０にならず８回目が０になるときである。
６回目で０にならず８回目で０になるのは、６回目の得点が２点で、７回目･８回目が共に裏がでるときである。
６回投げて４回目で０にならず６回目の得点が２になる確率は、６回目で２点になるのは表が２回･裏が４回でるときであり、４回目で０になるのは４回すべてが裏のときであることより、(６Ｃ2－１)(1/2)^6である。
７回･８回の２回投げて２回共に裏がでる確率は(1/2)^2である。
以上より、求める確率は(６Ｃ2－１)(1/2)^6(1/2)^2 となる。
解法２．求める確率は、８回目の持ち点が０となる確率から、４回目・８回目が０、６回目・８回目が０となる確率を引き、４回目・６回目・８回目が０となる確率を加えればよい。
８回投げて８回目が０になるのは、表が２回、裏が６回でるときである。
このときの確率は、８Ｃ２(1/2)^6・(1/2)^2＝８Ｃ２(1/2)^8 ・・・①
４回目０・８回目０となる確率は、4Ｃ４(1/2)^4・4Ｃ２(1/2)^4 ＝6(1/2)^8 ・・・②
６回目０・８回目０となる確率は、6Ｃ１(1/2)^6・2Ｃ１(1/2)^2 ＝12(1/2)^8 ・・・③
４回目０・６回目０・８回目０となる確率は、4Ｃ4(1/2)^4・2Ｃ１(1/2)^2・2Ｃ１(1/2)^2 ＝4(1/2)^8 ・・・④
以上より、求める確率は、①－②－③＋④を求めればよい。
解法３．求める確率は、８回目の持ち点が０となる確率から、
４回目０・６回目０以外･８回目０、４回目０以外･６回目０・８回目０、４回目０・６回目０・８回目０となる確率を引けばよい。
８回投げて８回目が０になるのは、表が２回、裏が６回でるときである。
このときの確率は、８Ｃ２(1/2)^6・(1/2)^2＝８Ｃ２(1/2)^8 ・・・①
４回目０・６回目０以外・８回０となる確率は、(1/2)^4・２(1/2)^2・(1/2)^2 ＝2(1/2)^8 ・・・②
４回目０以外・６回目０・８回０となる確率は、{６Ｃ１(1/2)^6ー(1/2)^4・2(1/2)^2}・２(1/2)^2 ＝2(６Ｃ１ー2)・(1/2)^8 ・・・③
４回目０・６回目０・８回０となる確率は、(1/2)^4・２(1/2)^2・2(1/2)^2 ＝4(1/2)^8 ・・・④
以上より、求める確率は、①－②－③－④を求めればよい。
１．さいころをｎ個（ｎ≧３）同時に投げるとき、出た目の数の和がｎ＋３になる確率を求めよ。
２．コインを８回投げるゲームをする。最初の持ち点を４点とし、コインを１回投げるごとに、表が出たら持ち点に１点を加え、裏が出たら１点を引く。このとき、ゲーム終了時に、初めて持ち点が０点となる確率を求めよ。
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