難関中学２年の数学、解けますか？

私立難関中学２年の定期試験の問題(改)です。

数学好きで、意欲があるなら、挑戦してみてください。自力で解けない場合、ヒントを参照してください。

[学力の目安]

中２生で、自力で解けるなら、東大合格レベルにあります。

中３生で、ヒントを参照して解ければ、(公立中生としては)数学が得意です。中３生とは、今春高１になる生徒のことです。

高１生で、ヒントを参照しても解けないなら、現時点では数学での難関大合格は厳しい状況にあります。ただし、受験まで２年近くあるので、挽回は可能です。

高２生で、ヒントを参照しても解けないなら、数学での難関大受験は避けた方が賢明です。時間が足りません。当塾のひとりは回避し慶應大に合格しました。

私立難関大(文系)の場合、数学／社会／国語から２科目選択が一般的です。文系の場合、数学が好きでも成績が芳しくないことはよくあります。この場合、早め(高３の４月)に数学を捨て、社会を必死に勉強した方が好結果を生みます。慶應大(文)の合格者はこのケースでした。超難関の国立大を受験する場合、数学を捨てられないこともありますが、難問を解き続けていると受験直線に数学の学力が急上昇することもあります。この場合、数学で受験した方が好結果を生みます。早稲田大(商)に合格した塾生は、３年の夏までは社会＞数学で社会で受験する予定でしたが、冬に数学＞社会となり逆転したので、数学で受験しました。いずれにしても、自分の置かれている状況をそのときどきで正確に分析して決断することになります。

【問題】

箱に赤玉１５個と白玉ｎ個が入っていて、同時に３個取り出す。取り出された３個のうちの２個が赤玉･１個が白玉である確率をPnとおく。 

(1) Pnをｎを用いて表せ。 

(2) 確率 Pnが最大となるｎおよびそのときのPnを求めよ。

【解法のヒント】

(1) 赤と白は排他的事象であり、「同時に」は組合せだから、Pn＝15C2･nC1／n+15C3

後は、式を整理するだけですから、各自求めましょう。

(2) ここでは、ポイントのみを示します。

➀ Pn+1－Pn を求めると、分数式になる。

② この分数式を通分し整理すると、分子がa(－2n＋13)となり、Pnが最大となるnが求まる。(ここで、aは正の整数)

これらのヒントをもとに、試行錯誤してみてください。難関大の入試では、複雑な計算を要領よく素早く正確に解く、高い計算力が求められます。

公立中生のために、(1)について(組み合わせではなく、理解し易い)順列で解説します。

15+n個の玉の中から3個取り出し1番から3番まで並べる並べ方(順列)は、(n+15)*(n+14)*(n+13)通り。

2個が赤玉で1個が白玉の並べ方は、赤赤白、赤白赤、白赤赤の3通りあり、

赤赤白の順に並べたときの並べ方は、15*14*n 通り。

赤白赤の順に並べたときの並べ方は、15*n*14 通り。

白赤赤の順に並べたときの並べ方は、n*15*14 通り。

以上より、Pn=15*14*n*3/{(n+15)*(n+14)*(n+13)}

※ ここで止めておきますが、その後は、数字をまとめて解答とします。

参考：Pn＝15C2･nC1／n+15C3を変形すると、次の通り、上の結果と一致します。

15C2＝15*14/(2*1)、nC1＝n/1、n+15C3＝(n+15)*(n+14)*(n+13)/(3*2*1)より、

Pn＝15C2･nC1／n+15C3

＝{15*14/(2*1)}*(n/1)÷{(n+15)*(n+14)*(n+13)/(3*2*1)}

＝{15*14*n/(2*1)}*[(3*2*1)/{(n+15)*(n+14)*(n+13)}]

＝15*14*n*3*2*1/{(2*1)*(n+15)*(n+14)*(n+13)}

＝15*14*n*3/{(n+15)*(n+14)*(n+13)}

この問題は、公立中学の数学教師や(横浜翠嵐や湘南に合格者を出した程度の)公立高校専門塾の数学講師の実力では、ほとんど解けません。ただし、(当塾の講師など)灘･開成に合格者を出した塾講師なら、難なく簡単に解けます。

公立トップ高の高１生は、自力ではほとんど解けません。

公立トップ高の高２生でも、学校平均程度の学力では解けません。

教え子の横浜翠嵐･横浜緑ヶ丘や横浜サイエンスの生徒たちが高１のとき、全員が各高校の上位10%以内の成績でしたが、同レベルの問題を自力では解けませんでした。ただし、解法のための基本テクニックを教えたら直ぐ理解し、それらを利用して解けるようになりました。すなわち、「本問題の解法には、公立高校１年ではまだ教えないテクニックが含まれていて公立高１年生は解けないが、公立でもトップ高生なら、基本テクニックを覚えれば直ぐに自力で解けるようになる」ということです。公立トップ高生たちの多くは、(安易に大手塾に頼るなど)塾の活用も下手で、標準問題でさえ苦戦しているのに、(無用のプライドが邪魔して)素質があり学力が高いと勘違いしています。その間に、私立難関の中高生たちは、塾をうまく活用しながら難問に果敢に挑戦し、学力に磨きをかける好循環を形成し、公立高生との学力差を広げ続けています。

ちなみに、当塾では、塾生が正答できない場合、解法を直ぐに教えるのではなく、解法に有効な基本テクニックなどヒントを教えます。ヒントだけでは解けない場合、基本を徹底的に指導した上で、再度、不正解の問題に挑戦させています。この指導法で当塾生の学力は次第に他熟生を凌駕するようになります。

公立校の君やあなたが難関大合格を目指すなら、難関中学２年生たちはこのレベルの問題に挑戦し解いてしまうという現実を知ることが、その第一歩です。また、塾を選ぶ場合には、体験授業を利用して、いくつかの塾を体験した上で、自分に合ったところを選ぶとよいでしょう。また、合わないと感じたら、他塾を探してもよいと思います。いつまでも、合わない授業を受けていても仕方がありません。学校は入学したら滅多なことでは転校できませんが、転塾はいつでも可能なのですから。ただし、転塾を安易に何度も繰り返すことは、謹んだ方がよいでしょう。本人の学力が伸びないだけでなく、精神的に不安定になり、弊害が生じたりします。

【参考問題】

箱に赤玉１０個と白玉ｎ個が入っていて、１個取り出し色を確認したら箱に戻す、この試行を３回繰り返す。取り出された３個のうちの２個が赤玉･１個が白玉である確率をQnとおく。 

(1) Qnをｎを用いて表せ。 

(2) 確率 Qnが最大となるｎおよびそのときのQnを求めよ。

【解法のヒント】

(1) この試行は独立試行だから、Qn = 3C1×{10/(n+10)}²×{n/(n+10)}¹

(2)  10/(n+10)＝ｔとおいて、Qn を変形すると、ｔの3次式になる。

この３次式をｔで微分し、Qn が極大となるときのｔを求め(ｔ＝2/3)、次にｎを求め、最後にQnを求める。