図形問題(中２発展)

難関私立中向けの図形問題(中２･11月～12月)です。線分比や直線の方程式など複数の解法があります。ここでは、直線の方程式を使って証明します。

解答を見ただけだと簡単に思えるかもしれませんが、中２生にはとても難しい問題です。
※ 長年講師を務めていた四谷大塚では、中学受験生の学力レベルを高い順にS,C,B,Aと表しますが、

※ この問題は、中学受験のときにSレベル(偏差値63以上)の学力がないと、自力ではほとんど解けません。

※ Cレベル(偏差値54～62くらい)では苦戦します。

まず、導入の文(座標の指定)は、解法の全体像を把握していないと、書けません。

(仮に問題文に)座標が提示されていた場合、

次に、②, ③の方程式は、記号を使って表す必要があり、中２生の多くは文字式に慣れていないので、ここで苦戦します。

そして、②, ③から④の座標を求める過程は、実際には計算が相当複雑で、④に到達することは(中２生には)至難の技です。

最後に、３点が一直線上にあることを(減点されないように)示すには熟練を要し、数学特有の国語力が要求されます。

この問題を完答するには、高い計算力(速さ＆正確さ＆暗算力）や豊かな文章表現力(必要･十分＆簡潔)が必須です。難関の私立中生たちは、このような難問に悪戦苦闘しながら挑戦し続けています。進度が速く難度も高いのに学校での授業は拙速なので、今は辛い思いをすることもありますが、大学受験のとき、鍛えた実力を遺憾無く発揮します。

点K=(0, 0), Q=(0, -a), S = (0, b), P=(-c. 0), R=(d, 0) とする。

このとき、C=(d, -a) …➀

直線PQ, RSはそれぞれ次ように表される。　 … ②,  … ③

2直線②, ③の交点Oを求めると　 … ④

2点O, Cを通過する直線を求めると、➀,④より、 … ⑤

 を⑤に代入すると、　 … ⑥

⑥より、点Aは直線⑤上にあるので、題意は示された。