循環小数２(数学)

[問題]

1/17は1/17＝0.0(･)588235294117647(･)と循環小数になる。

この循環節の数字を左８つと右８つにわけて、

05882352＋94117647＝99999999となり、すべて9になる。

このような性質が成り立つ理由を説明せよ。

[ヒント] 

588235294117647×17/1＝10¹⁶－1

この問題は超難問ですが、理解できれば整数への造詣が深まります。

楽しく解けるならば、どの大学でも合格できるレベルにあります。

[解答例]

 588235294117647×17/1＝10¹⁶－1＝(10⁸＋1) (10⁸－1)

(10⁸＋1) (10⁸－1)≡0 ( mod 17 )より、(10⁸＋1) (10⁸－1)は17の倍数である。…　➀

ここで、(10⁸－1)×1/17＝1/17×10⁸－1/17＝5882352.9(･)411764705882352(･)－0.0(･)588235294117647(･)

()となり(10⁸－1)×1/17は整数ではないから10⁸－1は17の倍数ではない。…　②

➀,②より、10⁸＋1は17の倍数であり、1/17×(10⁸＋1)は整数である。

1/17×(10⁸＋1)＝1/7×10⁸＋1/7＝5882352.9(･)411764705882352(･)＋0.0(･)588235294117647(･()

が整数になるのは、小数点以下が0.9(･)(＝1)となる必要がある。

すなわち、循環節の左８つと右８つの和はすべて９となる。

Q.E.D

[補足]

※１[0.9(･)＝1]

x＝0.9(･)とおくと10x＝9.9(･), (10－1)x＝9.9(･)－0.9(･)＝9,x＝1より、0.9(･)＝1

※2 [10⁸－1は17の倍数ではない]

x＝1/17＝0.0(･)588235294117647(･)とおくと、10¹⁶x＝588235294117647.0(･)588235294117647(･)より、

(10¹⁶－1)×1/17＝588235294117647であり、10¹⁶－1は17の倍数である。

一方、(10ⁿ－1)(1≦n≦15)のとき(10ⁿ－1)×1/17は、(小数点以下16位まで循環するので)小数点以下が0.9(･)もしくは0にならない。

よって、(10ⁿ－1)(1≦n≦15)は17の倍数ではない。

以上より、n=8のとき、すなわち10⁸－1は17の倍数ではない。