循環小数(数学)

[問題]

142857×2 ＝ 285714 について、285714は142857の左はしの2つを右はしに移動した形になっている。また、 

142857×3 ＝ 428571 について、428571は142857の左はしの1つを右はしに移動した形になっている。
何故このような性質が成り立つのか説明せよ。

[ヒント]

142857×7/1 ＝ 999999 ＝ 1000000－1 より、142857 ＝ (1000000－1)×1/7

285714×7/2 ＝ 999999 ＝ 1000000－1 より、285714 ＝ (1000000－1)×2/7 

428571×7/2 ＝ 999999 ＝ 1000000－1 より、428571 ＝ (1000000－1)×3/7

この問題は、整数の性質に精通していないと理解さえ困難な難問です。

東大･京大･一橋大など難関国立大合格を目指すならば、解いておいた方がよい問題です。

私立大学は要領よく解くことを求める問題が多いので、ここまでの学習は不要です。

[解答例]
142857 ＝ (1000000－1)×1/7 

285714 ＝ (1000000－1)×1/7×2 ＝ (1000000－1)×2/7 

428571 ＝ (1000000－1)×1/7×3 ＝ (1000000－1)×3/7 

1000000×1/7 = 142857.142857 … ＝ 142857.1(・)42857(・) であり、142857の６つの数字が循環する。ここで、

10 ÷ 7 ＝ 1 … 3　← ➀

30 ÷ 7 ＝ 4 … 2　← ③

20 ÷ 7 ＝ 2 … 6　← ② 

60 ÷ 7 ＝ 8 … 4 

40 ÷ 7 ＝ 5 … 5 

50 ÷ 7 ＝ 7 … 1 

1000000×1/7は上の➀から計算を始めた場合であり、142857の６つの数字が循環し、 

1000000×1/7－1/7 は小数点以下が0となり142857となる。同様に、 

1000000×2/7は上の②から計算を始めた場合であり、285714の６つの数字が循環し、 

1000000×2/7－2/7 は小数点以下が0となり285714となる。さらに、 

1000000×3/7は上の③から計算を始めた場合であり、428571の６つの数字が循環し、 

1000000×3/7－3/7 は小数点以下が0となり428571となる。

以上より題意は示された。