AとBの２人が、１個のサイコロを次の手順により投げ合う。
1回目はAが投げる。
1, 2, 3 の目が出たら、次の回には同じ人が投げる。
4, 5 の目が出たら、次の回には別の人が投げる。
6 の目が出たら、投げた人の勝ちとしそれ以降は投げない。
(1) n 回目にAがサイコロを投げる確率anを求めよ。
(2) ちょうどn 回目のサイコロ投げでAが勝つ確率pnを求めよ。
(3) n 回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率qnを求めよ。
(一橋大学)
解法のポイント
確率a1, a2, a3, ・・・, anを漸化式で表すことに着目する。
(1)は解法も計算も少し複雑だか、(1)を解ければ(2),(3)の解法は平易である。
(1)
n回目にBがサイコロを投げる確率をbnとおくと、
a1 = 1, b1 = 0
a2 = a1×3/6＋b1×2/6, b2 = a1×2/6＋b1×3/6
・・・
an = an-1×3/6＋bn-1×2/6, bn = an-1×2/6＋bn-1×3/6 ・・・①
an+1 = an×3/6＋bn×2/6, bn+1 = an×2/6＋bn×3/6 ・・・②
①より、
an＋bn = 5/6(an-1＋bn-1)
= (5/6)n-1(a1＋b1)
= (5/6)n-1 ・・・③
②に③を代入して、
an+1 = an×3/6＋bn×2/6
= an×3/6＋｛(5/6)n-1－an}×2/6
この2項間漸化式を解くと、
an = 1/2{(1/6)n-1＋(5/6)n-1}
(2)
n回目にAが投げる確率はanで、かつ6の目が出る確率は1/6であるから、
求める確率 pn＝an×1/6 = 1/12{(1/6)n-1＋(5/6)n-1}
(3)
求める確率は、p1＋p2＋・・・＋pnであるから、
qn＝p1＋p2＋・・・＋pn＝3/5－1/10(1/6)n－1/2(5/6)n
[補足]
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