期待値と平均値(数学)

期待値の問題です。ここでは、平均値との違いも解説します。

問題

1からnまでの数字を1つずつ書いたn枚のカードがある。ただし、n≧2とする。

(1) このn枚のカードから1枚選び、大きい方の数字をXとする。Xの期待値Eを求めよ。

(2) このn枚のカードから1枚選び、その数字をX1とする。そのカードをもとに戻し、改めて1枚選び、その数字をX2とする。X1とX2の小さくない方の数字をYとする。Yの期待値E2を求めよ。

一橋大学

解答

(1) n枚のカードから一度2枚選ぶ選び方は_nC₂通り。X = k ( k = 2, 3,・・・, n ) のとき、 

残りの一枚の選び方は1,2,・・・,k-1のk－1通り。 

このときの確率は  であるから、求める期待値Eは、 

(2) n枚のカードから1枚ずつ2回カードを選ぶ選び方はn²通り。Y=k(k=1,2,・・・,n) のとき, 

2枚(X1,X2)の選び方は(1,k),(2,k),・・・,(k,k),(k,1),(k,2),・・・,(k,k-1)の2k-1通り。 

このときの確率は  であるから、求める期待値E2は、 

[補足]

期待値は、[確率変数のとりうる値]に[それが起こる確率]を掛けた値の総和のことで、1回の観測で期待される値を指す。
平均値は、[観測値全体の和]を[観測度数]で割った値を指す。

[ex.]
n = 3のとき2枚の選び方は、(a,b) = (1,2), (1,3), (2,3)  (a < b) で、期待値Eは 　となる。 

3回の試行で選ばれた２枚のカード(a,b)が、 

(a,b) ＝ (1,2), (2,3), (3,1) のとき、平均値A₁は  でありA₁ ＝ Eとなるが、 

(a,b) ＝ (1,2), (2,1), (3,2) のとき、平均値A₂は  でありA₂ ≠ Eとなる。