確率(難関大受験向け)

箱の中に１からNまでの番号が一つずつ書かれたN枚のカードが入っている。この箱から無作為にカードを１枚取り出して戻すという試行をk回行う。

このとき、はじめからj回目( j = 1, 2, ･‥, k ) までに取り出したカードの番号の和をX_j とし、X₁, X₂, ･‥, X_k, のうちのどれかが k となる確率を　P_N(k) とする。

(1) N ≧ 3 のとき、 P_N(1), P_N(2), P_N(3), を N で表せ。

(2) k ≦ N のとき、P_N(k) を N と k で表せ。

(東工大)

(2) は、数学的帰納法、または数列の漸化式で解くことができます。ここでは前者による解法を示します。

 

※ 学校の授業だけでは、御三家(栄光･聖光･浅野)クラスでも、このレベルの問題はほとんど解けず苦戦しますが、基礎から緻密に解説を受け続けていると、いつの間にか解けるようになり、難関大もA判定レベルに到達できます。

(1) P_N(1) は１枚目の番号が１である確率だから、P_N(1) = 1/N

 

P_N(2) は１枚目の番号が 2 であるか、2枚目までの番号の和が 2 (1+1のみ)となる確率だから、

P_N(2) = 1/N + 1/N･1/N = (N+1)/N²

P_N(3) は１枚目の番号が 3であるか、2枚目までの番号の和が 3 (1+2か2+1)か、3枚目までの番号の和が 3 ( 1+1+1のみ ) となる確率だから、

P_N(3) = 1/N + 1/N･1/N･2 + 1/N･1/N･1/N = (N+1)²/N³

 

(2) N－1以下の自然数の定数 n について、

k = 1, 2, ･‥, n のとき P_N(ｋ) = (N+1)^k-1/N^k ･‥ ①

であると仮定する。

(ⅰ) k = 1 のとき(1)より自明である。

(ⅱ) k = n のとき①が成り立つとする。

P_N(n+1)において、１枚目の番号を i とすると残りの和はn+1－iとなる。

Ⅰ枚目の番号が i である確率は 1/N,、和がn+1－iとなる確率はP_N(n+1-i)であるから、

1枚目の番号が i のときの確率は 1/N･P_N(n+1-i)となる。

P_N(n+1)を１枚目の番号 i を n+1, n, ･‥, 1 に場合分けし、①を使い計算すると

P_N(n+1) = 1/N･1 + 1/N･P_N(1) + ･‥ + 1/N･P_N(n)

 

よって、①の等式はk = n+1 のときも成り立つ。

(ⅰ), (ⅱ) より①はk≦Nのすべての自然数について成り立つ。したがって、P_N(ｋ) = (N+1)^k-1/N^k